18.05, 19.05. Уравнения и неравенства. Повторение

Это надо знать

Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида ax=b, где х - неизвестное, a и b - данные числа.

Квадратное уравнение - это уравнение вида: ax²+bx+c=0, где a, b и с – числа, причем а не равно 0.

Приведённым называют квадратное уравнение у которого старший коэффициент равен 1 : x²+2x-5=0 - приведенное квадратное уравнение.

Полное квадратное уравнение — уравнение в котором присутствуют все три слагаемых : 3x²+2x-5=0 - полное квадратное уравнение.

Неполное квадратное уравнение — уравнение в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равны нулю : 3x²-5=0; 3x²+2x=0; 3x²=0 - неполные квадратные уравнения.

Решение полного квадратного уравнения ax²+bx+c=0:

1) Находим дискриминант D=b²-4ac

2) В зависимости от значения дискриминанта находим корень:
если D < 0 , то квадратное уравнение не имеет корней;
если D = 0 , то квадратное уравнение имеет один корень:

если D > 0 , то квадратное уравнение имеет два корня

Решение неполного квадратного уравнения ax²+bx=0:

х(ах+b)=0;
x=0 или ax+b=0;
x=-b/a.

Решение неполного квадратного уравнения ax²+c=0:

ax²+c=0;
x²=-c/a;


Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виетта

Для приведенного квадратного уравнения x² + bx + c = 0 сумма корней равна коэффициенту b , взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену c:
x1 + x2 = – b ;

x1 • x2 = c .

В неприведенном квадратном уравнении ax² + bx + c = 0:
x1 + x2 = – b/a;

x1 • x2 = c/a.

Биквадратное уравнение

Биквадратным называется уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0, где a не равно нулю.
Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной.

Решение биквадратного уравнения:
1. Пусть x² = t, приходим к квадратному уравнению at² + bt + c =0.
2. Решаем квадратное уравнение at² + bt + c =0 относительно переменной t.
3. Решаем уравнения: x² = t1 и x² = t2. Находим значения х.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рациональным уравнением называется уравнение вида

где P(x), Q(x) - многочлены.

Решение уравнения сводится к решению системы:

Неравенства

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.

Свойства неравенств

1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному.

2. Если к обеим частям неравенства с одной переменной прибавить или вычесть одно и то же число, то получится неравенство, равносильное данному.

3. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному.

4. Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

В классе

Работа по сборнику заданий к экзамену.

К уроку  (18.05)

Вариант 26 (6),
вариант 28 (8),
вариант 30 (8),
вариант 32 (7),
вариант 34 (7),
вариант 36 (7),
вариант 40 (6)

К уроку  (19.05)

Вариант 42 (9),
вариант 44 (6, 9),
вариант 46 (6, 8),
вариант 48 (4, 7),

вариант 50 (10)
 

Домашнее задание

После урока (18.05)

Вариант 25 (6),
вариант 27 (8),
вариант 29 (8),
вариант 31 (7),
вариант 33 (7),
вариант 35 (7),
вариант 39 (6)

После  урока (19.05)

Вариант 41 (9),
вариант 43 (6, 9),
вариант 45 (6, 8),
вариант 47 (4, 7),

вариант 49 (10)